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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三数学上学期第一次月考试题理

发布时间:

4.已知 sin 2? ? 1 ,则 cos2 (? ? ?) ?

3

4

A. 1  

B. 4

C. 2

D. 8

3

9

3

9

5.函数 f (x) ? ln(x2 ? 4x ? 3) 的单调递增区间是

A.(??,1)

B.(??, 2)

C.(2, ??)

D.(3, ??)

2018-2019 年度高三学年上学期第一次月 考
数学试题(理科)

考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的)
? ? ? ? 1.已知集合 A ? x x ? 1 , B ? x 3x ? 1 ,则

A. A ? B ? {x | x ? 0} B. A ? B ? R

C. A ? B ? {x | x ? 1} D. A ? B ? ?

2.设 Sn 为等比数列?an? 的前 n 项和, 8a2

? a5

?

0 ,则

S5 S2

?

A.11

B.5

C. ?11

D. ? 8

3.下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y ? 10lg x 的定义域和值域相同的是

A.y ? x

B.y ? 2x

C.y ? lg x

D.y ? 1 x

? ? 6.设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,若 3S3 ? S2 ? S4 , a1 ? 2 ,则 a5 ?

A. ?12

B. ?10

C.10

D.12

7.已知

x0

?

? 3

是函数

f

(x)

?

sin(2x

?

?)

的一个极大值点,则

f

(x)

的一个单调递减区间是

A.( ? , 2 ?) 63

B.( ? , 5 ?) 36

C.( ? , ?) 2

D.( 2? , ?) 3

8.已知?an? 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ?

A.7

B.5

C.? 5

D. ? 7

9.将函数

y

?

sin(2

x

?

? )

的图象向左*移

?

个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是

6

4

A.x ? ? 12

B.x ? ? 6

C.x ? ? 3

D.x ? ? ? 12

10.已知函数

f

(x)

?

ex

? e?x

,x?R

,若对 ?? ? (0,

? ] ,都有

f

(sin ?) ?

f

(1? m)

?

0 成立,则实数 m

2

2

的取值范围是

A.(0,1)

B.(0, 2)

C.(??,1)

D.(??,1]

11.已知 f (x) ? x ln x ? aex ( e 为自然对数的底数)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是

A.(0, 1) e

B.(0, e)

C.(1 , e) e

D.(??, e)

12.已知函数

f

?x?

?

xlnx

?

a x

? 3,

g

?x?

?

x3

?

x2

,若 ?x1, x2

?

?1 ?? 3

,

2???

,

f

? x1 ?

?

g

? x2

?

?

0 ,则实数 a

的取值范围为

1

A.?0, ???

B.?1, ???

C.?2, ???

D.?3, ???

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

? ? 13.已知数列

an

满足 an?1

?

1 1? an

, a1

?

1 2

,则 a2019

? _________

14.记 Sn 为数列 ?an? 的前 n 项和,若 Sn ? 2an ? 1 ,则 an ? _________

15. ?ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,若 cos A ? 4 , cos C ? 5 , a ? 1 ,则 b ? _________

5

13

16.已知函数 f (x) ? 2 cos x ? sin 2x ,则 f (x) 的最小值是_________

20. (本题满分 12 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 经过点 M (1, 2 ) ,其离心率为 2

2 ,设直线 l:y ? kx ? m 与椭 2

圆 C 相交于 A、B 两点.
(1)求椭圆 C 的方程; ???? ????
(2)以线段 OA, OB 为邻边作*行四边形 OAPB ,若点 Q 在椭圆 C 上,且满足 OP ? ?OQ ( O 为坐标

原点),求实数 ? 的取值范围.

21.(本题满分 12 分)

已知函数 f ? x? ? ax ? lnx ?a ? R ? .

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)
在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,已知 c ? sin A ? sin B . b ? a sin A ? sin C
(1)求角 B 的大小;

(1)求函数 f ? x? 的单调区间;

(2)若函数

f

?

x

?

有两个零点

x1

,

x2

,证明:

1 lnx1

?

1 lnx2

? 2.

(2)若 b ? 2 2 , a ? c ? 3,求 ?ABC 的面积.

18.(本题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? sin2 ? x ?

3

sin

?

x

sin

? ??

?

x

?

π 2

? ??



?

?

0

)的最小正周期为

π



(1)求? 的值;

(2)求函数

f

(x)

在区间

???0,23π

? ??

上的取值范围.

19.(本题满分 12 分)

设数列{an}

的前

n

项和为

Sn

,点

(n,

Sn n

)(n

?

N

?

)

均在函数

y

?

x

?

2

的图像上.

(1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设 bn

?

1 an an ?1

, Tn

是数列{bn}的前 n

项和,求使得 Tn

?

m 20

对所有 n ?

N?

都成立的最小正整数 m

.

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.

22. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

?

在*面直角坐标系

xOy

中,直线

l

的参数方程为

?? ?

x

?

1

?

3t 2 (t为参数) ,以坐标原点 O 为极点, x 轴

? ??

y? 1t 2

的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? ?4 cos? .

(1)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离;

(2)已知 P(1, 0) ,若直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,求 1 ? 1 的值. PA PB

2

23.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x) ? x ? 2 ? 2 , g(x) ? m x (m ? R) . (1)解关于 x 的不等式 f (x) ? 5 ; (2)若不等式 f (x)≥ g(x) 对任意 x ? R 恒成立,求 m 的取值范围.

哈师大附中 2018-2019 年度高三上学期第二次月考

一. 选择题

数学试卷(理科)答案

1-6 ACDCDB 7-12 BDADAB

二.填空题

13. ?1

14. ?2n?1

21
15.

16. ? 3 3

13

2

三.解答题

17.(1)? c ? a ? b b?a a?c

?a2 ? c2 ? b2 ? ?ac ? 2ac cos B ?cos B ? ? 1 ? B ? 120? 2

(2)?b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac cos B ?ac ? 1

? S ? 1 ac sin B ? 3

2

4

18.(Ⅰ) f (x) ? 1? cos 2?x ? 2

3 sin 2?x ? 2

3 2

sin

2? x

?

1 2

cos

2? x

?

1 2

?

sin

? ??

2? x

?

π 6

? ??

?

1 2



因为函数

f

(x)

的最小正周期为

π ,且?

?

0

,所以

2π 2?

?

π

,解得 ?

?1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

f

(x)

?

sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

?

1 2



因为

0



x



2π 3

,所以

?

π 6



2x

?

π 6



7π 6

,所以

?

1 2



sin

? ??

2

x

?

π 6

? ??

≤1,

因此

0



sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

?

1 2



3 2

,即

f

(x)

的取值范围为

???0,32

? ??



19. ? Sn ? n ? 2 n
? Sn ? n2 ? 2n

(1)n ? 2, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ?1 (2)n ? 1, a1 ? 3 ,适合上式

?an ? 2n ?1

(2)bn

?

1 (2n ?1)(2n ?

3)

?

1 2

(1 ? 2n ?1

1 )
2n ? 3

?Tn

?

1 2

(1 3

?

1 5

?

1 5

?

1 7

?? ?

1? 2n ?1

1 2n ?

) 3

?

1 2

(1 3

?

1 2n ?

) 3

?

1 6

?m 20

?

1?m 6

?

10 3

?m?Z

? mmin

?

4

20.(1)因为? e ? c ? 2 , a2 ? b2 ? c2 a2
? a2 ? 2b2 ?椭圆方程为? x2 ? y2 ? 1
2b2 b2

3

?(1, 2 ) 在椭圆上?b2 ? 1, a2 ? 2 2

?椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1 2

(2)由

? y ? kx ? m,

? ?

x

2

?

2y2

?

2

,得

(1 ?

2k 2 )x2

?

4kmx

?

2m2

?

2

?

0



设点 A 、 B 的坐标分别为 A(x1, y1) 、 B(x2 , y2 ) ,

则 x1 ? x2

?

? 4km 1? 2k 2

, x1x2

?

2m2 ? 2 1? 2k 2



y1

?

y2

?

k ( x1

?

x2 )

?

2m

?

2m 1? 2k 2

(1)m ? 0, A, B 关于原点对称, ? ? 0 ,不能形成*行四边形

?? ? 0

(2)m

?

0

? ??

xQ

,?

?

?4km ?(1? 2k 2 )

? ??

yQ

?

2m ?(1? 2k 2 )

?Q

在椭圆上,?[ ?4km ]2 ?(1? 2k 2 )

?

2[ 2m ]2 ?(1? 2k 2 )

?

2

?4m2 ? ?2 (1? 2k 2 )

??? 16k 2m2 ? 4(1? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 8(1? 2k 2 ? m2 ) ? 0

?1? 2k 2 ? m2 ? 4m2 ? ?2m2
??2 ? ? ? 2 且 ? ? 0
21(1) f ?? x? ? a ? 1 ? ax ?1? x ? 0?
xx
当 a ? 0 时, f ?? x? ? 0 ,所以 f ? x? 在 ?0, ??? 上单调递减;

当 a ? 0 时, f ?? x? ? 0 ,得 x ? 1
a

?x

?

? ??

0,

1 a

? ??

都有

f

??x?

?

0,

f

?x?



? ??

0,

1 a

? ??

上单调递减;

?x

?

? ??

1 a

,

??

? ??

都有

f

??x?

?

0,

f

?x?



? ??

1 a

,

??

? ??

上单调递增.

综上:当 a ? 0 时, f ? x? 在 ?0, ??? 上单调递减,无单调递增区间;

当 a ? 0 时,

f

?x?



? ??

0,

1 a

? ??

单调递减,

f

?x?

? 在 ??

1 a

,

??

? ??

上单调递增.

(2)函数 f ? x? 有两个零点分别为 x1, x2 ,不妨设 x1 ? x2 则

lnx1 ? ax1 ? 0 , lnx2 ? ax2 ? 0
lnx2 ? lnx1 ? a ? x2 ? x1 ?

要证: 1 ? 1 ? 2 lnx1 lnx2

只需证: 1 ? 1 ? 2a 只需证: x1 ? x2 ? a

x1 x2

2 x1 x2

只需证: x1 ? x2 ? lnx2 ? lnx1

2 x1 x2

x2 ? x1

只需证: x22 ? x12 ? ln x2

2 x1 x2

x1

只需证:

ln

x2 x1

?

1?

2

? ?

x2 x1

?

x1 x2

? ? ?

令t

?

x2 x1

? 1,即证 lnt

?

1 2

? ??

t

?

1 t

? ??

4

设?

?t

?

?

lnt

?

1 2

? ??

t

?

1 t

? ??

,则 ? ? ? t

?

?

2t

?t2 2t 2

?1

?

0



即函数? ?t ? 在 ?1, ??? 单调递减

则? ?t ? ? ? ?1? ? 0

? ? ? x ? ?1或 x ? 5 .故原不等式的解集为 x x ? ?1或x ? 5

(2)由 f (x)≥ g(x) ,得 x ? 2 +2≥ m x 对任意 x ? R 恒成立,

当 x ? 0 时,不等式 x ? 2 +2≥ m x 成立,

x?2 ?2

当 x ? 0 时,问题等价于 m ≤

x

对任意非零实数恒成立,

即得 1 ? 1 ? 2 lnx1 lnx2

? ??x ? 1? 22.解:(1)由直线 l 的参数方程为 ?

3t 2 (t为参数)

消去参数 t,可得: x ?

? ??

y? 1t 2

3y ?1? 0

圆 C 的极坐标方程为 ? ? ?4 cos? ,即 ? 2 ? ?4? cos? .

?

x?2

?2 ≥

x?2?2

?1 ,

?m ≤1 ,

x

x

即 m 的取值范围是 (?? , 1] .

所以圆 C 的普通坐标方程为 x2 ? y2 ? 4x ? 0

则 C(?2, 0) .

所以圆心 C(?2, 0) 到直线 l 的距离 d ? ?2 ?1 ? 3 22

?

(2)已知

P(1,

0)

,点

P

在直线

l

上,直线

l

与圆

C

交于

A,

B

两点,将

?? ?

x

?

1

?

3t 2 (t为参数) 代入

? ??

y? 1t 2

圆 C 的普通坐标方程 x2 ? y2 ? 4x ? 0 得:

t2 ? 3 3t ? 5 ? 0

设 A, B 对应参数为 t1, t2 ,则 t1 ? t2 ? ?3 3 , t1t2 ? 5 因为 t1t2 ? 0 , t1, t2 是同号.

所以

1

?

1

?

1?

1

? t1 ? t2

?3

3


PA PB t1 t2 t1 t2

5

23.(1)由 f (x) ? 5 ,得 x ? 2 ? 3 ,
即 x ? 2 ? ?3 或 x ? 2 ? 3 ,
5




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